Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $16$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $16$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Paso 1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ ((16 - λ) (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Expande $(16 - λ) (- 16 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ (16 (- 16 - λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplica $16$ por $- 16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.2

Suma $- 16 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 0 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.3

Suma $- 256$ y $0$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 16) + 0 + 0$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $16$ de $- 256$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$

Paso 1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.1

Combina los términos opuestos en $- λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$ .

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Paso 1.5.5.1.1

Suma $- λ (λ^{2} - 272)$ y $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0$

Paso 1.5.5.1.2

Suma $- λ (λ^{2} - 272)$ y $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272)$

Paso 1.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272$

Paso 1.5.5.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 272$

Paso 1.5.5.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 272$

Paso 1.5.5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 272$

Paso 1.5.5.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ \cdot - 272$

Paso 1.5.5.4

Multiplica $- 272$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 272 λ$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 272 λ = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3} + 272 λ$ .

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 272 λ = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza $- λ$ de $272 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272 = 0$

Paso 1.7.1.3

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2}) - λ (- 272)$ .

$- λ (λ^{2} - 272) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 272 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ$ igual a $0$ .

$λ = 0$

Paso 1.7.4

Establece $λ^{2} - 272$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $λ^{2} - 272$ igual a $0$ .

$λ^{2} - 272 = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve $λ^{2} - 272 = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Suma $272$ a ambos lados de la ecuación.

$λ^{2} = 272$

Paso 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{272}$

Paso 1.7.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{272}$ .

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Paso 1.7.4.2.3.1

Reescribe $272$ como $4^{2} \cdot 17$ .

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Paso 1.7.4.2.3.1.1

Factoriza $16$ de $272$ .

$λ = \pm \sqrt{16 (17)}$

Paso 1.7.4.2.3.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 17}$

Paso 1.7.4.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$λ = \pm 4 \sqrt{17}$

Paso 1.7.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.7.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$λ = 4 \sqrt{17}$

Paso 1.7.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$λ = - 4 \sqrt{17}$

Paso 1.7.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$λ = 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- λ (λ^{2} - 272) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $0$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.5

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.6

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.7

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.8

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.9

Suma $- 16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 1 & - 16 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{1}{16} & \frac{- 16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ \frac{0}{16} & \frac{16}{16} & \frac{16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{16} \cdot 0 & \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{16} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{17}{16} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{17}{16} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{17 z}{16} \\ - z \\ z \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 \sqrt{17}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 4 \sqrt{17}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8

Multiplica $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 0 - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Resta $4 \sqrt{17}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 4 \sqrt{17}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 \sqrt{17}}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16 - 4 \sqrt{17}}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} - (- 16 - 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 - 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z + 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Paso 5.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $4 \sqrt{17}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.3

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.4

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.6

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.7

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.8

Multiplica $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.9

Multiplica $4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 0 + 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3

Simplify each element.

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Paso 5.2.3.1

Suma $0$ y $4 \sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.5

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.6

Suma $16$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.2.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Paso 5.3

Find the null space when $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Paso 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \sqrt{17}}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16 + 4 \sqrt{17}}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} - (- 16 + 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 + 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Paso 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z - 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Paso 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Paso 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$